さんすうもぞもぞ（販売したいです）と内容がかぶります。
前回まででさんすうにつき思いついたことどもを書き連ねてきましたが、まとめてみたいと思います。主としてベキ関数 
と言われるもの を取り上げてきました。
多用しますので、いちいち図形をｺﾋﾟｰ引用するのも面倒なのでExcelの関数表記に習ってz＝ⅹ＾αとします。一次関数はz＝ⅹ＾1、二次関数はz＝ⅹ＾2、三次関数はz＝ⅹ＾3です。それだけじゃ面白くないので、αが実数の時を考えます。
のような系列を想定し、x^1→x^1.1→x^1.2…→x^2のようにαを自然数でなく実数連続的に変化させたとき、関数の形がどのように変化するかを確認します。例えば0.5次関数というようなものを考えます。あることはわかりますがどんな形をしているかは即座には想像できませんよネ。結論から言えば複素数の範囲で連続的に変化します。ベキ関数が複素数値をとることは、(-1)＾0.5＝i(虚数単位)であることからわかりますネ。ベキ関数というのは複素数値関数なのです。この系列は、定数を別にして微分すれば左に、積分すれば右に移動します。例外が２つあって、１というかx^0を微分してもゼロになりませんしx^(-1)を積分すればlog(x)になります。上の系列で１から右は連続で左は不連続で値は∞になります。ゼロを取りうる実数ｘが分子にあるとき
という公式があり、これはx^(-1)を積分すればlog(x)に無限大が付与されます。変数を実数でなく複素数で考えれば大小関係はないので＋∞も−∞も±∞で連続と言えなくもありません。本気でやるなら複素数を群論的に考察する（表現論）のでしょうが得られる満足度は費やした努力を裏切るものです。しらんけド～
実はベキ関数も指数関数の逆関数であるlog(x)も複素数値をとる多価関数でαが負の側から正の側に向かって0を通り過ぎるとき純虚数の項が不連続に消えるのでその微分には 無限大が付け加えられる…という訳です。これがデルタ関数のここでの解釈です。
Excelでベキ関数のグラフを作りました。無限連続な実数は正確にはパソコンでは表現できませんが雰囲気は理解していただけるかと思います。最初の「ﾍﾞｷ関数のグラフ」で「虚数はｘの負の部分のみに現れる」ことを確認しましょう。図の上でクリックで拡大表示されます。
2列目にｘの値を-3から＋3まで、0.5刻みで設定しました。細かくしたいのは山々なのですがＢ５ノートの画面に収まるようにしました。Ｂ１セルはαで好きな値を入力することができます。これで、0次関数、0.5次関数、1次関数、2次関数、3次関数のグラフが視覚化されます。結構おもしろいです。
B3のセルには=IMPOWER(B2,$B1)という関数を、これがx＾αです。そしてB4 とB5には=IMREAL(B3)と=IMAGINARY(B3)という実部と虚部をとる関数を設定してあります。そしてこれらをCからNまでコピーしました。これでA2からN5までを選択してグラフ化すればsheetは完成です。
次はマクロです。Keisan1は0から3まで0.01刻みでセルB1に設定します。またKeisan2は-1から+1までをB1に設定します。これで動くグラフの完成です。上のグラフはB1に1.00を設定したものです。次にB1に1.10を設定してみましょう。1次関数からちょっとだけ変わった関数です。
z-x^1と似たようなグラフですネ。黒い線は実部、ピンクの線は虚部です。ｘの負の部分に虚部が自己主張しています。マクロでB1に1.00から3.00までを与えれば線分の連続変化が確認でします。（その３）のオイラーの公式も参照してくださいネ。これがｘの負の部分の実部と虚部の比を与えます。例えばsin(0)はゼロですのでこの場合の関数は実数値を取ります。
さて、このExcelのプログラムを￥1,000で販売しようと考えてます。想定する顧客は高校の数学の先生とパソコンスクールの男子職員です。先生は、ここまで詳しく実数や複素数、ベキ関数とその連続変化を説明できれば数学の好きな生徒に尊敬されるでしょう。数Ⅱでまだ教えてない…は無しです。雑談ですので… リカくん・リカちゃんが増えてくれたらうれしいです。
またパソコンスクールの男子職員は女子職員や受講者にリスペクトされるでしょう。私がバイトしてたとき丸1日かかる転記の事務作業をマクロで一瞬にやっつけたとき羨望の眼差しを向けられました。そのあとどうなったかは しらんケド…
ご所望の方は「fukjun13@gmail.com」までご連絡ねがいます。
著作者情報
芸名 Euler kumorijun HepJean 理学修士技術士
現況 75歳。高齢者施設で車椅子暮らし。但し孫と外食散歩したい一心で
自主筋トレしています。あァ若いころはＳＥとしてＩＢＭに勤務していました。
メール fukjun13@gmail.com
銀行口座 001-6192244(旧JNBですがそのまま使えます。本店営業部)
(済)
